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协方差的定义
对于一般的分布，直接代入E(X)之类的就可以计算出来了，但真给你一个具体数值的分布，要计算协方差矩阵，根据这个公式来计算，还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多，这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。
如给出X、Y分别表示一个列向量，
计算方法
X，Y都为4行1列的向量，那么协方差矩阵的每个元素
Σ
i
j
=
c
o
v
(
X
i
,
X
j
)
=
E
[
(
X
i
−
μ
i
)
(
X
j
−
μ
j
)
]
\Sigma_{ij}={\rm cov}(X_i,X_j)={\rm E}[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)]
Σij=cov(Xi,Xj)=E[(Xi−μi)(Xj−μj)] 用中文来描述，就是：
Σ
i
j
=
（
第
i
列
的
所
有
元
素
−
第
i
列
的
均
值
）
∗
（
第
j
列
的
所
有
元
素
−
第
j
列
的
均
值
）
\Sigma_{ij}=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值）
Σij=（第i列的所有元素−第i列的均值）∗（第j列的所有元素−第j列的均值）
这里只有X,Y两列，所以得到的协方差矩阵是2x2的矩阵，下面分别求出每一个元素： 所以，按照定义，给定的4个二维样本的协方差矩阵为：
Σ
=
(
8.75
−
1
−
1
12
)
\Sigma=\bigl( \begin{matrix} 8.75 & -1 \\ -1 & 12 \end{matrix} \bigr)
Σ=(8.75−1−112)
用matlab计算这个例子
z=[1,2;3,6;4,2;5,2]
cov(z)
ans = 2.9167 -0.3333 -0.3333 4.0000
可以看出，matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以，协方差的matlab计算公式为：
Σ
i
j
\Sigma_{ij}
Σij=（第i列所有元素-第i列均值）*（第j列所有元素-第j列均值）/（样本数-1）
下面在给出一个4维3样本的实例，注意4维样本与符号X,Y就没有关系了，X,Y表示两维的，4维就直接套用计算公式，不用X,Y那么具有迷惑性的表达了。
与matlab计算验证
Z=[1 2 3 4;3 4 1 2;2 3 1 4]
cov(Z)
ans =
1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000
1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000
-1.0000 -1.0000 1.3333 0.6667
-1.0000 -1.0000 0.6667 1.3333
R语言中的计算结果
是与matlab的结算结果相同的，验证程序如下：
> c1=matrix(c(1,2,3,4, 3,4,1,2, 2,3,1,4),nrow = 3,byrow = T)
> cov(c1)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 1 -1.0000000 -1.0000000
[2,] 1 1 -1.0000000 -1.0000000
[3,] -1 -1 1.3333333 0.6666667
[4,] -1 -1 0.6666667 1.3333333
可知该计算方法是正确的。我们还可以看出，协方差矩阵都是方阵，它的维度与样本维度有关（相等）。参考2中还给出了计算协方差矩阵的源代码，非常简洁易懂，在此感谢一下!
参考：
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix
[2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html